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第 2 章　运算方法和运算器 —— a 和 b 怎么存、a+b 怎么算

a+b 在这一章：int a, b; 一旦读进来，机器里存的不是”3”和”5”，而是一串二进制补码。a+b 这个加法，CPU 其实是用”补码加法”做的，还得防着”算出来溢出了”。这一章就是把”存数”和”算数”两件事彻底讲透——它是全课计算题的最大富矿。

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2.1 数据怎么表示

2.1.1 定点数：小数点位置固定

【知识点·定点表示】

• 🎓 定点数约定小数点位置固定不变，常见两种：纯小数（小数点在符号位后）、纯整数（小数点在最低位后）；范围受字长限制。
• 🌱 “定点”就是规定好小数点钉死在某个位置不许动，所以叫定点。我们的 int a 就是定点纯整数。

定点纯整数:  x0 │ x1 x2 ... xn      小数点在最右，符号位 x0 (0正1负)
            符号  └── 数值位 ──┘

2.1.2 机器码：原码、反码、补码、移码（本章命根子）

人写的数叫真值（如 +5、−5）；存进机器、能让符号也参与运算的叫机器码。

【知识点·原码】

• 🎓 原码：最高位为符号位（0正1负），其余为数值的绝对值；有 +0 和 −0 之分。
• 🌱 就是”符号位 + 绝对值”，最直观，但做减法很麻烦。
• 例：x=+1011 → [x]原=0 1011；y=−1011 → [y]原=1 1011。

【知识点·反码】

• 🎓 反码：正数与原码相同；负数为”原码数值位逐位取反，符号位仍为1”。
• 🌱 负数就是把原码除符号位以外”0变1、1变0”。它是通往补码的中间桥。
• 例：y=−1011 → [y]原=1 1011 → [y]反=1 0100。

【知识点·补码（最重要）】

• 🎓 补码：正数与原码相同；负数 = 反码末位 +1（等价于”模 − |x|”）。定点小数以 2 为模，定点整数以 2ⁿ⁺¹ 为模。补码只有一个 0。
• 🌱 补码是为了”把减法变成加法”发明的。原理就像时钟：现在7点要回到4点，可以−3，也可以+9（因为时钟模12，7+9=16≡4）。负数用”绕一圈补回来”的数代替。
• 例：y=−1011 → [y]反=1 0100 → [y]补=1 0101。

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🔥 补码深挖：为什么”减法 = 加法”？—— 一段你必须真正搞懂的原理

为什么单独开这一节？ 补码是整本机组里”看起来在背公式、实际有最深漂亮原理”的知识点。教材通常只给”反码+1”的口诀，但口诀背后的”模运算”思想才是 CPU 设计者真正在做的事。理解了它，你看后面所有”硬件用加法器一招解决加减乘除”的设计都会豁然开朗。

问题起点：硬件最怕”减法”。

为什么怕？造一个加法器电路相对简单（一位一位加+进位），但减法要”借位”——硬件得另造一种”借位逻辑”，意味着双倍电路成本。设计师们想：能不能只造加法器，让它顺便也能做减法？

补码就是答案。下面用一个具体的例子，让你亲眼看见它怎么做到的。

第一步：先看”时钟”——理解什么叫”模”

想象一个只有 12 个小时刻度的时钟。现在指针在 7 点，你想让它指到 4 点。有两种走法：

   方法 A: 往回拨 3 格            方法 B: 往前拨 9 格
   ───────────────                ───────────────
      7 − 3 = 4 ✓                    7 + 9 = 16
                                     但时钟只有 12 格！
                                     16 转一圈回到 4 ✓

   结论：在"12 小时制"里，−3 和 +9 是等价的。

为什么？因为时钟满 12 自动归零——这就是”模 12 运算”。数学上写作：

$$-3\equiv +9(\mathrm{mod}12)$$

换句话说：在模 12 的世界里，“减 3” 可以用 “加 9” 代替。9 就是 −3 在模 12 下的”补数”。

🔑 关键洞察：只要一个系统有”模”（满了自动归零），减法就能换成加法。CPU 的字长有限，超出位数的进位会自动丢弃——这恰恰就给了它一个天然的”模”。

第二步：把”时钟模 12”换成”CPU 字长模 2ⁿ”

CPU 的寄存器只有有限位。假设我们做一个很小的 5 位 CPU（一共 5 个晶体管位，先全部按”无符号”理解，等推导跑通了再切到有符号视角），它的”时钟”长这样：

   5 位二进制能表示的所有 32 个状态（全部当无符号正整数看）:

       00000 (0)
       00001 (1)
       00010 (2)
       ...
       01111 (15)
       10000 (16)         ← 注意，这是 16，不是 "负数"！现在还是无符号视角
       ...
       11111 (31)
   ──────────────────────
       100000 (这是 32 = 2⁵, 但只有 5 位装不下)
         ↑
         溢出位被硬件自动丢弃 → 实际寄存器里留下 00000

   → 5 位寄存器就像一个 "32 格的圆形时钟"
   → 这台 5 位机器的"模" M = 2⁵ = 32
   → 走到 31 再 +1，自动绕回到 0

这里发生了一件非常重要的事：因为寄存器只装得下 5 位，任何超过 5 位的进位都会被硬件自动扔掉——这就是 5 位机器天然的”满 32 归零”机制。

🔔 重要的视角说明：上面我们把 5 位看成”0~31 的无符号数”。后面同样这 5 位的 11101，会被重新解读为”−3 的补码”——同一串 0/1 在硬件里没有变，变的只是程序员/编译器对它的”解读约定”。这就是补码最绕的地方：0/1 不带正负号，正负是”约定”出来的。我们先用无符号视角把数学跑通，第五步再切到”有符号解读”。

第三步：用真实数字，亲眼看”5 − 3” 变成 “5 + 29”

我们让这台 5 位机器算 5 − 3。按补码思路：

   被减数 5  → 二进制 00101
   减数  3   → 二进制 00011
   想求    5 − 3 = 2 → 期望结果 00010

   关键操作：用 32 − 3 = 29 来"代替" −3
   29 的二进制 = 11101  ← 这就是 −3 的"补码"

   做加法：
                 00101    (5)
              +  11101    (−3 的补码 = 29)
              ─────────
               100010    ← 一共 6 位

                ↑↑↑↑↑↑
                │
                │     最高位（第 6 位）是溢出，被硬件丢弃！
                │
                └─→ 实际留在寄存器里的：00010 = 2 ✓

奇迹发生了：硬件只做加法，但因为”满 32 归零”自动把多出来的那一位扔掉，结果正好等于 5 − 3。

🌱 大白话：还是时钟那个例子，5 点想到 2 点，要么往回拨 3（−3，需要减法器），要么往前拨 29（+29，加法器就能干）——两种方式时钟最终指向同一个位置。CPU 选择”+29”这条路，因为它只用一个加法器就能搞定。

第四步：那”29”怎么算出来的？—— 这就是”取反加 1”的真相

我们说 −3 在模 32 下等于 +29。那 29 怎么从 3 算出来？

数学上：M − |x| = 32 − 3 = 29。但 CPU 不能直接算”32 减 3”（这又回到了减法问题）。于是有了一个绝妙的等价变换：

   M − |x|  =  M − 1 − |x| + 1
            =  (M − 1 − |x|)  +  1
            └─────────┬───────┘
                      这部分有个神奇性质 ↓

   在 5 位机器里 M − 1 = 31 = 11111 (全 1)

   M − 1 − |x|  =  11111 − 00011
                =  11100   ← 看仔细，这是什么？
                                就是 00011 的"逐位取反"！

   所以：
      −3 的补码 = (3 的取反)  +  1
              =   11100   +  1
              =   11101   = 29 ✓

🔍 为什么 “11111 − X” 恰好等于 “X 按位取反”？ 看一位真值表就明白：

X 的某位	1 − X	取反 ¬X
0	1−0=1	1
1	1−1=0	0

两列完全一致。所以 “全 1 减一个数” 在硬件上根本不需要减法器——只要给每一位接一个”非门”（NOT，单晶体管就能造，已知最便宜的电路元件）就行。这就是补码”取反加 1”在硬件层面真正廉价的原因。

这就是教材里那句”反码末位加 1 得补码”的真正来源——它不是凭空规定的口诀，而是 “M − |x|” 这个数学事实的硬件友好实现：先全 1 减一下（已证等价于按位取反，只用非门），再 +1（也简单）。

🔑 看到这你应该悟了：补码这套设计是两层抽象：

1. 数学层面：负数 ≡ “模 − 绝对值” → 减法变加法
2. 硬件实现层面：模 − 绝对值 = 取反 + 1 → 只需”非门 + 加法器”

第五步：把视角切到”有符号”——同一串 0/1 重新解读

第二步留了一个伏笔：“5 位 11101”既可以当无符号 29 用，也可以当有符号 −3 的补码用。这就是切换视角的时刻。

有符号视角的约定：把 0~31 这 32 个状态对半切：

• 00000 ~ 01111 (0 ~ 15) → 当正数 0 ~ +15
• 10000 ~ 11111 (16 ~ 31) → 当负数 −16 ~ −1（每个减 32 得到对应负数——为什么减 32？因为这就是补码的数学定义：有符号真值 = 无符号值 − 模。5 位的模是 2⁵=32，所以 11101 的无符号值 29 减 32 = −3，正是我们前面推的 −3 的补码）

   无符号视角                 有符号(补码)视角
   ─────────                  ─────────────────
   00000  = 0                 0
   00001  = 1                 +1
   ...
   01111  = 15                +15      ← 正数到此为止
   10000  = 16    →切线→      −16     (因为 16 − 32 = −16)
   10001  = 17                −15
   ...
   11101  = 29                −3      ← 这就是我们一直在用的 −3 的补码!
   11110  = 30                −2
   11111  = 31                −1

🔑 同一串 0/1 没有变，变的只是软件怎么”读”它。所以 CPU 加法器根本不知道自己算的是有符号还是无符号——它就是按补码规则做加法、产生进位。“是不是溢出”要软件根据”用哪个视角”自己判断。

补码”只有一个 0”也水落石出：

   5 位原码:                  5 位补码:
   +0  =  0 0000             +0  =  00000
   −0  =  1 0000             −0  =  ??
                                ↑
                             取 +0 的补码: 00000 取反 = 11111, +1 = 100000
                             5 位装不下，溢出丢弃 → 00000
                             →  −0 的补码 = +0 的补码 = 00000  → 没有独立编码

   → 补码省下了一个编码（原本浪费在 −0 上的那个）
   → 省下来的编码 10000 用来多表示一个原码没有的最小负数：
     10000 在切线之后 = 16 − 32 = −16  ← 这就是它怎么算出来的

这就解释了为什么 n 位补码的范围是 −2ⁿ⁻¹ ~ +(2ⁿ⁻¹−1)，比原码多一个负数。

一句话装回脑子

补码 = 在”字长有限”自带的”模”下，用加法表示减法的一套统一编码。

一段口诀走天下：“减法→加补码；负数→取反加 1；溢出位→硬件自动丢。”

🌱 大白话回顾整个故事：硬件工程师只想造一种加法器（省钱），数学家说”那行，你只要保证字长有限（自带’模’），我就能让所有减法都化成加法”——然后他发明了”反码+1”这个简单到能用门电路实现的”补数算法”。现代每一颗 CPU 里的减法、负数都是按这个原理跑的。今天你的程序算 5 - 3，CPU 真实做的就是 5 + 11101，然后扔掉溢出位。

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真值 → 原码 → 反码 → 补码 的流水线（以 −1011 为例，5位含符号）
 −1011
  │ 符号位1, 数值取绝对值
 [原]  1 1011
  │ 负数数值位逐位取反
 [反]  1 0100
  │ 末位 +1
 [补]  1 0101   ←  机器里真正存的就是它

【知识点·已知[x]补求[−x]补（变补/求补）】

• 🎓 [−x]补 = 对[x]补”连同符号位一起每位取反，末位加1”。
• 🌱 想求一个数的相反数的补码？把它的补码整个翻个面再+1。减法时要用到。

【知识点·移码（专用于浮点阶码）】

• 🎓 移码 = 真值 + 偏移量（定点整数定义 [x]移 = 2ⁿ + x）；移码与补码数值位相同、符号位相反。
• 🌱 移码就是”把所有数都加一个大数，让它们全变成正数”，这样比较大小特别方便（直接当无符号数比）。所以浮点阶码用它。
• 例：x=+1011111 → [x]补=0 1011111，[x]移=1 1011111（符号位翻转）。

🔑 四码对比记忆：正数四码（除移码外）全相同；负数：原码=符号+绝对值，反码=原码取反，补码=反码+1，移码=补码符号翻转。

【经典例题·−128 之谜】

• n=8 时补码能表示 −128（10000000），但原码/反码表示不了，因为补码”省下了一个 −0 的编码”多表示一个数。范围：补码 −2ⁿ⁻¹ ~ +(2ⁿ⁻¹−1)，原/反码 −(2ⁿ⁻¹−1) ~ +(2ⁿ⁻¹−1)。

2.1.3 浮点数与 IEEE754（超高频）

当数字特别大或特别小（电子质量 9×10⁻²⁸ 克），定点就不够用了，要用浮点。

🔥 小白别跳过：为什么是”IEEE 754”，而不是别的什么 754？

1970 年代以前，浮点是一场灾难。每家厂商都自己规定一套浮点格式：IBM 的浮点用 16 进制基数，DEC 用 2 进制但阶码偏移不同，Cray 又另一套……结果是：

• 同一段算法在 IBM 上跑得到 0.1，搬到 DEC 上得到 0.09997（精度不同）
• 程序换机器 = 重写浮点部分（移植灾难）
• 学术论文里 “我的算法误差是 X” —— 别人在另一台机器复现不出来（科学不可重复）

1985 年，IEEE（电气电子工程师协会）第 754 工作组给出了统一标准：所有浮点硬件必须这样实现——符号位、阶码、尾数怎么分；舍入怎么做；溢出/0/NaN 怎么表示。从此整个计算机界的浮点行为第一次可预测、可复现。

🌱 大白话：IEEE 754 = “全世界浮点硬件的普通话”。在它之前是各说各话，之后才有了”我电脑算的 1.5 + 2.7，和你电脑算的位元级完全一致”。

看下面格式时，记住每一条规定都是当年为了对付一个具体的坑而定下来的，不是凭空设计。

【知识点·浮点格式】

• 🎓 浮点数 N = (−1)ˢ × M × Rᴱ，S符号、M尾数、R基数（计算机里R=2隐含）、E阶码。规格化要求尾数最高位有效。
• 🌱 就是科学计数法 1.75 = 1.11×2⁰，把”小数点位置”用阶码记下来，小数点能”浮动”，所以叫浮点。

【知识点·IEEE754 标准（必考，务必背格式）】

单精度 32 位:  ┌─┬────────┬───────────────────────┐
               │S│  E(8位) │       M(23位)          │
               └─┴────────┴───────────────────────┘
   S: 符号(1位)   E: 阶码(移码,偏移127)   M: 尾数(原码纯小数,有隐藏的1)
   真值 x = (−1)^S × (1.M) × 2^(E−127)

双精度 64 位:  S(1) + E(11位,偏移1023) + M(52位)
   真值 x = (−1)^S × (1.M) × 2^(E−1023)

• 🎓 IEEE754 中尾数用原码、阶码用移码（便于比较大小）；尾数最高位”1”隐藏不存（隐含位）；阶码全0表示0/非规格化，全1表示∞/NaN（Not a Number，非数——表示无效运算结果，如 0÷0）。
• 🌱 关键三件事：①符号、阶码、尾数三段；②阶码要”加127再存”；③尾数前面那个”1.”是白送的不占位。

例1（16进制→十进制，课本例）：(41360000)₁₆ = 0 10000010 01101100000000000000000 S=0；E=10000010=130，e=130−127=3；1.M=1.0110110=1.011011 x = +1.011011 × 2³ = +1011.011 = (11.375)₁₀

例2（十进制→IEEE754，课本例）：(20.59375)₁₀ 20.59375 = 10100.10011 = 1.010010011×2⁴ → e=4，E=4+127=131=10000011 S=0，M=010010011（去掉隐藏1） 结果 = 0 10000011 01001001100000000000000 = (41A4C000)₁₆

🔑 易错：①别忘了阶码偏移（单精度+127）；②尾数要去掉/补上隐藏的”1.”；③区分阶码的”移码值E”和真正的”指数e=E−127”。

2.1.4 字符、汉字、校验码

我们的 scanf("%d %d", ...) 里的 "%d" 和空格，都是字符，得用编码存。

【知识点·ASCII（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）】

• 🎓 ASCII 用一个字节表示一个字符，低7位编码（128个），最高位常作奇偶校验位。
• 🌱 给每个字母/符号编个号，比如 ‘A’=65、‘0’=48。键盘按下啥，先变成它的ASCII码。

【知识点·汉字编码三关】

• 🎓 输入码（拼音/五笔）→ 国标码/机内码（存储交换，两字节、每字节最高位为1以区别ASCII）→ 字模码（点阵字形，用于显示打印）。
• 🌱 打字时：你敲拼音(输入码)→机器存成内码→要显示时查字库画出点阵(字模码)。三种码各管一段。

【知识点·奇偶校验码】

• 🎓 在有效信息后加1位校验位，使”1”的个数为奇数(奇校验)或偶数(偶校验)：C = x₀⊕x₁⊕…⊕xₙ₋₁。只能检奇数个错，不能纠错。
• 🌱 传数据怕出错，就多加一位”凑数位”，让1的总数保持单数或双数；收到后一数，单双变了就知道传错了（但不知道错在哪、也不止一位错时会漏判）。

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2.2 定点加减运算（a+b 真正发生的地方）

【知识点·补码加减法（核心）】

• 🎓 补码加法：[x+y]补 = [x]补 + [y]补（连符号位一起加，模运算自动丢弃溢出进位）。补码减法：[x−y]补 = [x]补 + [−y]补。
• 🌱 这就是补码的全部意义——加减法都用一个加法器搞定，符号位也一起算，不用单独处理正负。我们的 a+b 就是把 a、b 的补码直接相加。

例: x=+1001, y=−0101, 求 x+y (5位补码)
   [x]补 = 0 1001
 + [y]补 = 1 1011
 ─────────────────
   1 0 0100   → 最高位进位被丢弃(模运算) → 结果 0 0100 = +0100 = +4 ✓

【知识点·溢出判断（必考，溢出≠进位）】

• 🎓 两个同号数相加，结果符号相反即溢出。检测法：
  • 双符号位法（变形补码）：用两位符号位 Sf1Sf2，00正常(正)、11正常(负)、01正溢、10负溢；溢出 V = Sf1 ⊕ Sf2。
  • 单符号位法：V = 符号位进位 Cf ⊕ 最高数值位进位 C0。
• 🌱 溢出=结果超出了机器能表示的范围（俩正数加出个负数，俩负数加出个正数）。双符号位就是”用两个符号位看打架结果”，两个符号位不一样就是溢出。

例: x=+1100, y=+1000 (双符号位)
   [x]补 = 00 1100
 + [y]补 = 00 1000
 ─────────────────
   01 0100   两符号位 01 → 正溢出！(两正数加成了"负数")

🔑 超易错：进位 ≠ 溢出。无符号数看进位（Cf=1表示进位），有符号数看溢出（双符号位不等或Cf⊕C0=1）。

【知识点·一位全加器 FA（Full Adder，全加器——能同时接收两个加数和低位进位、输出本位和与进位的基本电路单元）】

• 🎓 FA 输入 Ai、Bi、低位进位 Ci，输出本位和 Si = Ai⊕Bi⊕Ci，进位 Ci+1 = AiBi + (Ai⊕Bi)Ci。n位行波进位加法器把n个FA串起来。
• 🌱 全加器就是”管一位加法、还要算给上一位的进位”的小电路；串成一排就能加多位数。做减法时把减数取反、最低位补1（求补）即可。

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2.3 定点乘法运算

虽然 a+b 不做乘法，但课本要求掌握——挂靠在”如果程序里有 a*b 会怎样”。

【知识点·原码一位乘 / 阵列乘法器】

• 🎓 原码乘法：符号位单独异或决定，数值位做”部分积逐位累加+右移”；n位×n位积为2n位。硬件用阵列乘法器把部分积并行相加（流水式取代串行）。
• 🌱 跟你列竖式乘法一模一样：一位一位乘、错位相加；符号另算（同号正、异号负）。阵列乘法器就是把这堆加法用一片电路同时做完，快。

【知识点·带符号阵列乘法器（补码乘）】

• 🎓 采用”算前求补 → 乘法器 → 算后求补”：把操作数取绝对值相乘，再根据符号决定结果是否求补。
• 🌱 先把负号摘掉只乘绝对值，最后再按”同号正异号负”把符号和补码补回去。

例：x=+15, y=−13，|x|·|y|=1111×1101=11000011，符号 0⊕1=1（负）→ 结果 −195。

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2.4 定点除法运算

【知识点·原码除法：恢复余数 vs 加减交替】

• 🎓 商符=被除数符⊕除数符；数值部分反复”上商、余数左移、加/减除数”。恢复余数法：余数为负要先加回除数再继续（步骤不定）；加减交替法（不恢复余数法）：余数为正→商1、下次减；余数为负→商0、下次加，步骤固定，机器常用。
• 🌱 长除法的机器版。“恢复余数”=减多了就再加回来（麻烦）；“加减交替”=减多了不加回来，下一步改成加，反正最后能凑对（省事，所以机器都用它）。

加减交替法口诀:
  余数为正 → 上商 1 → 下一步：余数左移后【减】除数
  余数为负 → 上商 0 → 下一步：余数左移后【加】除数
  共做 n 步求 n 位商；若最后一步余数为负，需补加一次恢复（不移位）

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2.5 定点运算器的组成

【知识点·逻辑运算】

• 🎓 逻辑非（按位取反）、逻辑加（按位或）、逻辑乘（按位与）、逻辑异（按位异或），均按位独立运算、无进位。
• 🌱 这些是”一位管一位、互不进位”的运算，C语言里的 ~ | & ^ 就是它们。

【知识点·ALU 与先行进位（74181/74182）】

• 🎓 多功能算术/逻辑单元 ALU 通过控制端 S0–S3、M 选择16种算术、16种逻辑运算；为提速用”先行进位（超前进位）“：Cn+4 = G + P·Cn（G进位产生、P进位传递），片内先行、片间可再用74182实现成组先行进位。
• 🌱 ALU 是运算器的”心脏”，能算能逻辑，靠几个开关选功能。普通加法器进位要一位一位往上传（慢，像多米诺骨牌），“先行进位”是提前把所有进位一次算出来（快）。

单/双/三总线运算器结构（数据在ALU和寄存器间怎么走）
 单总线: 所有部件挂一条总线，一次只能传一个数，慢，控制简单
 双总线: 两条总线，两个操作数可同时送入ALU
 三总线: ALU两输入+一输出各一条，速度最快

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2.6 浮点运算与浮点运算器

【知识点·浮点加减五步（必背流程）】

设 x = 2^Ex · Mx,  y = 2^Ey · My
 ① 对阶 (0操作数检查后) ── 小阶向大阶看齐：阶小的尾数右移，阶码增大，直到 Ex=Ey
 ② 尾数加减 ────────────── 对齐后的尾数做补码加减
 ③ 规格化 ──────────────── 结果尾数最高有效位要有效：
        右规：尾数右移1位、阶码+1（尾数溢出时）
        左规：尾数左移1位、阶码−1（尾数最高位非有效时）
 ④ 舍入 ────────────────── 0舍1入 / 截尾 / 朝±∞舍入
 ⑤ 判溢出 ──────────────── 看阶码：阶码上溢→±∞；阶码下溢→当0处理

• 🎓 浮点加减必须先对阶再运算，原因是只有指数相同，尾数才能直接对位相加。
• 🌱 就像 3万 + 5千要先写成”3.0万 + 0.5万”才能加——先把数量级对齐，再加尾数，最后整理成规范写法、四舍五入、看会不会爆表。

🔑 易错：①对阶一定是”小阶向大阶”（小数右移会丢精度，但保住了大数）；②左规可能要移多位，右规只移一位；③阶码用补码/移码判上下溢（双符号位 01上溢、10下溢）。

【知识点·浮点乘除】

• 🎓 x×y：阶码相加、尾数相乘；x÷y：阶码相减、尾数相除；最后规格化+舍入。
• 🌱 科学计数法乘法：指数相加、有效数字相乘（(2×10³)(3×10²)=6×10⁵），除法反过来。

【知识点·流水线浮点运算器】

• 🎓 把浮点加分成”求阶差→对阶→相加→规格化”四段，每段一个部件、段间加锁存器，多个运算重叠进行（时间并行）。
• 🌱 像流水线洗车：一辆车在吹干时，下一辆已在打蜡——四个步骤同时各处理一个运算，吞吐量大增（详见第5章流水线）。

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⭐ 本章在 a+b 故事里的位置

现在我们知道：a、b 在机器里以补码存着；a+b 由 ALU 用补码加法完成，做完还要判溢出。乘除、浮点是同一套思路的延伸。但还有个问题没解决：这些指令和 a、b，到底放在哪儿？CPU 取它们快不快？ 这就是下一章——存储器。

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🧪 费曼检验区（合上笔记，用自己的话说）

规则：合上笔记，试着说给完全不懂的人听。卡壳了就说明没真懂，回头重读。

📌 老师划重点（综合题必出）

• 综合题考补码运算、译码（除法不太会考）
• 选择题考 IEEE754 转换

📊 教材核心考点

1. 什么是补码？为什么计算机用补码而不是原码？（提示：能说清”模”和”时钟”类比就过关）
2. 原码、反码、补码、移码——四种码的转换关系是什么？移码和补码什么关系？
3. 双符号位判断溢出的规则是什么？“溢出”和”进位”有什么区别？
4. IEEE754单精度三个字段（S/E/M）分别是什么？偏移量为什么是127不是128？“隐藏的1”是怎么回事？
5. 浮点数加减法的五个步骤是什么？为什么对阶要”小阶向大阶看齐”？
6. 把 -12.625 转成 IEEE754 单精度，你能不看笔记完整做出来吗？

📝 章节小测

先动笔算完再看答案。本章是计算题最大富矿，综合题必出。

【题 1 · 计算 · 补码加减+溢出】 设机器字长 8 位（含 1 位符号位），x = +105，y = +45。用双符号位法计算 [x+y]补，判断是否溢出。

【题 2 · 计算 · IEEE754】 将十进制数 −12.625 转换为 IEEE754 单精度浮点数（写出 32 位二进制和对应的十六进制）。

【题 3 · 计算 · 浮点加法】 设 x = 2¹ × 0.1101，y = 2⁴ × (−0.1010)（阶码、尾数均用补码表示，阶码 4 位含 1 位符号位，尾数 8 位含 2 位符号位）。求 x + y，写出对阶、尾数加减、规格化、舍入的每一步。

【题 4 · 判断】 “两个补码相加，如果最高位产生了进位，就一定发生了溢出。” 对还是错？

【题 5 · 简答】 为什么补码能把减法变成加法？用 5 位 CPU 和 7 − 3 这个例子，写出具体的二进制运算过程。

参考答案（点击展开）

题 1：

• [x]补 = 00 1101001（双符号位，+105 = 01101001）
• [y]补 = 00 0101101（+45 = 00101101）
• 相加：00 1101001 + 00 0101101 = 01 0010110
• 双符号位 01 → 两位不同 → 正溢出。结果 10010110 若当无符号看是 150，超出 8 位有符号范围（−128~+127），确实溢出。

题 2：

• 12.625 = 1100.101₂ = 1.100101 × 2³
• S = 1（负数）；e = 3 → E = 3 + 127 = 130 = 10000010
• M = 100101（去掉隐藏的 1.）后补零到 23 位：10010100000000000000000
• 32位：1 10000010 10010100000000000000000
• 十六进制：按4位一组分 → C14A0000
• 验证拆回：S=1, E=130, e=3, 1.100101×2³ = 1100.101 = 12.625, 加负号 = −12.625 ✓

题 3：（这道偏简答分析，写清每步即可）

• x 的阶 = 0001(+1)，y 的阶 = 0100(+4)；阶差 = 1−4 = −3
• ① 对阶：小阶向大阶，x 的尾数右移 3 位，阶码变 0100： x 尾数 00.1101 → 右移3位 → 00.0001（101 被移出，最后一个 1 用于舍入）
• ② 尾数加减：00.0001 + 11.0110（y 尾数 −0.1010 的补码 = 11.0110）= 11.0111
• ③ 规格化：11.0111 符号为负且非 11.0xxx 形式 → 已是规格化（负数补码规格化形式为 11.0xxx 或 10.xxx → 11.0111 满足）
• ④ 舍入：移出位 101 > 100，0舍1入 → 尾数末位 +1 → 11.1000
• 规格化检查：11.1000 = −0.1000，符号位 11 但最高有效位是 1 → 需左规1位 → 11.0000，阶码 0100−1=0011
• 结果：x + y ≈ 2³ × (−0.1000) = −(0.1)₂ × 2³ = −4
• （注：浮点题细节多，考试写清每步过程即可得分，具体舍入规则看题目约定）

题 4：错。进位 ≠ 溢出。例如 (−3) + (−5) = −8（8 位补码：11111101 + 11111011 = 1 11111000，最高位进位 = 1，但结果 −8 没溢出）。判溢出要看双符号位是否相同（或 Cf ⊕ C0），不能看最高位进位。

题 5：5 位机器的模 M = 2⁵ = 32。−3 的补码 = 32 − 3 = 29 = 11101。

   00111  (7)
+  11101  (−3 的补码 = 29)
─────────
  100100  → 6 位，最高位溢出丢弃 → 00100 = 4 ✓

硬件只做加法，“满 32 归零”自动丢掉进位，结果等于 7−3=4。减法通过”加上减数的补码”变成了纯加法，只需一个加法器 + 取反电路。

🎯 本章高频考点 & 易错坑

• 计算（本章核心）：原/反/补/移码互换；补码加减+溢出判断；IEEE754 互转；浮点加减五步。
• 设计：阵列乘法器、先行进位 Cn+4 表达式、ALU。
• ⚠️ 坑：进位≠溢出；对阶是”小向大”；IEEE754 阶码偏移 + 隐藏位；加减交替法的加/减方向。

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